L'inverse de la fonction \(f(x)\) c'est \(f^{-1}(x)\). Faiq for example, if f of x is \(x+2\) then the inverse-of-f is the function \(x-2\). If f is \(2x\), $f^{-1}$ will be \(\frac{1}{2}x\). If f is \(-x\), then its inverse is \(-x\), so we have $f=f^{-1}$, or $f$ is self-inverse.
Ok enough of this linear stuff. (all of the above examples boil down to multiplying or adding a number to $x$). We are ready to see some-a-dem fancy function.
Attache ta tuque Gab! Si f est \(x^2\), alors $f$-inverse est \(\sqrt{x}\). Faiq racine carée est la fonction inverse de $x$-au-carré. Tu peux dire aussi l'inverse que $x^2$ est la fonction inverse de $\sqrt{x}$.
Ensuite il y a la fonction exponentielle en base $2$ \(f(x)=2^x\), dont la fonction inverse est \(\log_{2}(x)\).
Faiq si jamais t'es genre, wot the f*** is $x$ in $5^x = 6$? T'as juste a faire $\log_5 6$ pis t'aura $x$, parce que $log_5$ (log base 5) est la fonction inverse de $5^x$ faiq necessairement, si on commence avec \[ 5^x = 6 \] pis on brend log base 5 des deux bords on aura \[ \log_5( 5^x )= \log_5( 6 ) \] qui par definition de quece-ca-veux dire “fonction inverse” est egale a \[ x = \log_5( 6 ). \]
Ok, je the shoote quelques autres examples:
f = \(3x+5\), donc f inv = \(\frac{1}{3}(x-5)\).
Ca ca montre un exemple important qui est le “deplacement”
d'une fonction et la multiplication (scaling en anglais).
La fonction “prend $x$, multiplie le par 3, et puis deplace le tout vers le haut par 5.
La fonction inverse fera donc les memes etapes mais dans l'ordre inverse. Tout d'abord on soustrais 5, puis on scale par $0.333333...=1/3$.
En general fonction exponentielle dans base “a” on a f \(a^x\) pis f inverse \(\log_a(x)\).
Une base particulierement important c'est la base “e” – le chiffre de Euler qui e = 2.71828183…. avec infiniment de chiffres comme pi. Faiq la fonction c'est \(\exp(x)=e^x\). La base $e$ on apelle “naturelle” faiq le inverse c'est le “log naturel” \(\ln(x)=\log_e(x)\).
L'inverse de \(\sin(x)\) on apelle \(\arcsin(x)=\sin^{-1}(x)\). L'inverse de \(\cos(x)\) est \(\arccos(x)=\cos^{-1}(x)\).
Devoir: Cheque toute ces fonctions sur ta calculatrice pis teste que fonction suivie de inverse ca donne le chiffre original.
Est-ce qu'il y a des chiffres pour lesquels ca marche pas?